167. 两数之和 II - 输入有序数组
难度：中等 | 主题：数组 + 双指针
题目
给你一个下标从 1 开始的整数数组 numbers，该数组已按非递减顺序排列。请你找出两个数满足相加之和等于目标数 target。返回这两个数的下标。你可以假设每个输入只对应唯一的答案。
示例
输入：numbers = [2,7,11,15], target = 9
输出：[1,2]
解释：下标从 1 开始，numbers[1]+numbers[2]=9
思路
先讲个故事：两个人在数轴上找朋友
你和朋友站在一根有序的数轴上，想找一个位置组合能让你们俩的坐标加起来等于 100。
朋友站在最左边（最小数），你站在最右边（最大数）。
-
如果和太大 → 你往左走（减小）
-
如果和太小 → 朋友往右走（增大）
你们相向而行，总能在某个点碰头。
引导式推导：从无序到有序
第 1 题（两数之和） 用哈希表是因为数组无序，不得不存下所有数的位置。
本题 数组已排序——有序就是信息，双指针利用这个信息把空间降到 O(1)。
graph LR A["[2, 7, 11, 15] target=9<br/>↓ ↓<br/>l=0 r=3"] --> B{"2+15=17 > 9"} B -->|r左移| C["[2, 7, 11, 15]<br/>↓ ↓<br/>l=0 r=2"] C --> D{"2+11=13 > 9"} D -->|r左移| E["[2, 7, 11, 15]<br/>↓ ↓<br/>l=0 r=1"] E --> F{"2+7=9 ✓"}
为什么一定能找到？ 单调性保证搜索空间不断缩小——l 右移和增大，r 左移和减小。每次比较排除一个元素，类似于在二维有序矩阵中搜索。
| 场景 | 解法 | 空间 | 理由 |
|---|---|---|---|
| 有序数组 | 双指针 | O(1) | 利用有序性缩小搜索范围 |
| 无序数组 | 哈希表 | O(n) | 需要记录已遍历元素的位置 |
代码
def twoSum(self, numbers, target):
left, right = 0, len(numbers) - 1 # 双指针指向数组两端
while left < right: # 不能等号，一个数不能跟自己相加
total = numbers[left] + numbers[right]
if total == target: # 找到目标，题目保证唯一解
return [left + 1, right + 1] # 下标从 1 开始
elif total < target: # 和太小 → 左指针右移
left += 1
else: # 和太大 → 右指针左移
right -= 1
return [] # 理论上不会执行（题目保证有解）
复杂度
| 指标 | 值 | 解释 |
|---|---|---|
| 时间 | O(n) | 每个元素最多访问一次 |
| 空间 | O(1) | 就两个指针 |
| 哈希表法 | O(n) 空间 | 无序数组才用 |
实战考量
频率分析
出现在：一面基础题，常和 01两数之和 对比出题。约 35% 的会用这道题考察”场景选择能力”——有序用双指针，无序用哈希。
延伸思考
Q：为什么有序数组不用哈希表？
A：哈希表 O(n) 空间，双指针 O(1) 空间。有序数组的双指针信息来自排序本身，哈希表既浪费空间又没利用有序这个已知条件。
Q：如果数组可能有重复元素，答案不唯一呢？
A：双指针找到一个后，左右都跳过重复值继续搜索，类似 15三数之和 的去重逻辑。
Q：如果要求返回所有不重复的组合？
A：找到一对后，left 和 right 各自跳过重复值再继续。核心是 while left < right and nums[left] == nums[left-1]: left += 1。
Q：while 条件为什么是 < 不是 <=？
A：一个数不能和自己相加形成两个数。l == r 时指向同一个元素，不合法。
Q：下标为什么要 +1？
A：题目要求下标从 1 开始（1-indexed），而代码里用的是 0-indexed。
易错点
-
下标从 1 开始返回，忘记
left + 1和right + 1 -
while left < right写成while left <= right -
答案唯一 → 直接 return，不需要继续搜索
生活类比
找两数之和 → 相向双指针
就像两个人在一个递增的山坡上从两头往中间走，一个从山脚往上，一个从山顶往下。
和太小说明山脚的人走快点，和太大说明山顶的人走慢点。
双指针就是——每次只走一步，但一步缩小一行可能性。
相关题目
| 题目 | 关系 |
|---|---|
| 01两数之和 | 同族无序版，用哈希表 |
| 15三数之和 | 三数版，固定一个后内部就是本题 |
| 125验证回文串 | 双指针相向遍历，经典场景 |
→ 返回题单：LeetCode学习路线图 > 一、数组与哈希（含双指针、矩阵）
速记卡（面试闪卡）
Q1：一句话讲清「167. 两数之和 II - 输入有序数组」到底是什么？
A：有序数组找两数之和，用相向双指针把空间压到 O(1)。
Q2：一、题目与有序性带来的红利 —— 怎么理解？
A：像在排好队的数列里找搭档：题目保证有序且唯一解，这正是信息——利用有序性就不用哈希表存位置了。英文：Two Sum II / Sorted Input。
Q3：二、思路：两数轴上相向而行 —— 怎么理解？
A：像两人在递增山坡从两头往中间走：和太小左边前进、和太大右边后退，每次只走一步就排除一个元素，必能碰头。英文：Two Pointers。
Q4：三、为什么不用哈希表 —— 怎么理解？
A：像已有排序还去建索引纯属浪费：哈希表要 O(n) 空间存位置，双指针靠”有序”这个已知条件直接 O(1)，既省空间又用了题目给的信息。英文：O(1) Space。
Q5：四、边界与易错点 —— 怎么理解？
A：像过门槛的细活：下标从 1 开始记得 +1，循环用 < 不用 <= (一个数不能配自己)，找到唯一解直接 return 别多搜。英文：1-indexed / Edge Cases。
Q6：核心速记主线有哪些？
-
核心招式：左右指针相向，和大小决定谁移动
-
空间优势：有序 → 双指针 O(1)，无序才用哈希 O(n)
-
复杂度：时间 O(n)、空间 O(1)
-
易错：下标+1、while 用 <、唯一解即返回
口诀
A：有序两数指两头，
相向双针步步收；
和大小定谁走，
O(1) 空间稳拿下。