48. 旋转图像
难度：中等 | 主题：矩阵旋转
题目
给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请将图像顺时针旋转 90 度。必须在原地修改矩阵，不能使用另一个矩阵来旋转图像。
示例
输入：matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：[[7,4,1],[8,5,2],[9,6,3]]
解释：将 n×n 矩阵顺时针旋转 90 度
思路
先讲个故事：翻照片
你有一张叠起来的正方形照片，想顺时针转 90° 挂上墙。
有两个办法：
-
一张张抠出来重新摆（辅助数组）——但会弄坏照片
-
翻两次——先上下翻转，再沿对角线翻转
不信你试试：拿一张写着字的纸，先上下颠倒，再沿着左上-右下对角线翻折。纸上的字刚好转了 90°。
引导式推导：为什么翻两次等于转 90°？
第 1 步：旋转公式
顺时针旋转 90°，坐标变换是：
(i, j) → (j, n-1-i)
第 2 步：拆成两步
上下翻转： (i, j) → (n-1-i, j)
对角线翻转： (i, j) → (j, i)
两步串联：
(i, j) → 上下翻转 → (n-1-i, j) → 对角线翻转 → (j, n-1-i)
恰好是顺时针 90° 公式。两步变换串联分拆写比四元素轮换更直观、不易出错。
graph LR A["原始矩阵"] -->|"上下翻转<br/>swap(matrix[i][j], matrix[n-1-i][j])"| B["中间态"] B -->|"主对角线翻转<br/>swap(matrix[i][j], matrix[j][i])"| C["旋转 90° 结果"]
第 3 步：边界细节
上下翻转时，i 只走上半部分（n // 2），因为上下对称交换一次就够了，走满 n 会翻回原状。
对角线翻转时，j < i，只交换对角线左下和右上部分。对角线上的元素（i == j）不动，每对只交换一次。
三层递进
graph LR A["辅助数组<br/>O(n²) 空间"] B["翻转法<br/>O(1) 空间"] C["四元素轮换<br/>O(1) 空间"] A -->|"不用新数组，原地修改"| B A -->|"一次旋转四个位置"| C
| 方法 | 空间 | 推荐 |
|---|---|---|
| 翻转法 | O(1) | ⭐ 最直观 |
| 四元素轮换 | O(1) | 代码长，易下标越界 |
| 辅助数组 | O(n²) | 不满足原地要求 |
代码
def rotate(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
n = len(matrix)
# 1. 上下翻转：i 只走上半部分
for i in range(n // 2):
for j in range(n):
matrix[i][j], matrix[n-1-i][j] = matrix[n-1-i][j], matrix[i][j]
# 2. 主对角线翻转：j < i，避免重复交换
for i in range(n):
for j in range(i):
matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]
复杂度
| 指标 | 值 | 解释 |
|---|---|---|
| 时间 | O(n²) | 遍历矩阵每个元素常数次 |
| 空间 | O(1) | 原地修改 |
实战考量
频率分析
出现在：字节/腾讯/美团一面，矩阵操作的经典题。这道题考察能否把「旋转」拆解成「翻转」——翻转法比直接算旋转公式直观得多。
延伸思考
Q：上下翻转为什么 i 只走 n//2？
A：上下是对称交换，走 n//2 就已经把每一对都换了一次。走满 n 的话，前半部分换到后半部分，后半部分又被换回来——回到原状。
Q：对角线翻转为什么 j < i？
A：对角线元素（i == j）不需要交换。如果 j 走满 n，每对元素会被交换两次（(i,j) 换一次，(j,i) 又换一次），翻回原状。
Q：逆时针旋转 90° 怎么做？
A：上下翻转 + 副对角线翻转。或者等价地：主对角线翻转 + 左右翻转。
Q：旋转 180° 呢？
A：上下翻转后再左右翻转（或者直接对角翻转两次）。
Q：四元素轮换法是什么？
A：从外圈到内圈，每次旋转四个对应位置的元素。公式：temp = matrix[i][j]; matrix[i][j] = matrix[n-1-j][i]; matrix[n-1-j][i] = matrix[n-1-i][n-1-j]; matrix[n-1-i][n-1-j] = matrix[j][n-1-i]; matrix[j][n-1-i] = temp。代码长且易错，翻转法胜出。
易错点
-
上下翻转
i只走n//2，走n会翻回原状 -
对角线翻转
j < i，对角线元素不动，每对只交换一次 -
逆时针 90° = 上下翻转 + 副对角线翻转（不是主对角线）
生活类比
旋转图像 → 翻照片 → 翻两次等于转一次
就像叠一张纸：先上下倒过来，再沿着对角线折。
两次简单操作叠加，刚好转了 90°。
核心就是：复杂变换拆成简单步骤叠加。
相关题目
| 题目 | 关系 |
|---|---|
| 54螺旋矩阵 | 同属矩阵遍历/操作 |
| 73矩阵置零 | 同属矩阵原地操作 |
→ 返回题单：LeetCode学习路线图 > 一、数组与哈希（含双指针、矩阵）
速记卡（面试闪卡）
Q1：一句话讲清「48. 旋转图像」到底是什么？
A：旋转图像把n×n矩阵顺时针转90°，原地翻转法最直观。
Q2：一、题目要求 —— 怎么理解？ —— 怎么理解？
A：像转照片：把 n×n 矩阵顺时针转 90°，且不能另开一张纸（必须原地）。坐标变换 (i,j)→(j,n-1-i)。英语：rotate matrix in-place。
Q3：二、翻两次=转90° —— 怎么理解？ —— 怎么理解？
A：像折纸：先上下颠倒，再沿主对角线折，两步串联恰好是顺时针 90°；比直接套旋转公式直观不易错。英语：flip + transpose。
Q4：三、代码要点 —— 怎么理解？ —— 怎么理解？
A：像两段对称换：上下翻转 i 只走 n//2（走满会翻回原状），对角线翻转 j<i（对角元素不动，每对只换一次）。英语：matrix transpose（矩阵转置）。
Q5：四、复杂度与易错点 —— 怎么理解？ —— 怎么理解？
A：像算面积：时间 O(n²) 遍历每格常数次，空间 O(1) 原地；易错在 i 走满 n、j 走满 n 把矩阵翻回。逆时针=上下+副对角线。英语：O(n²) time。
Q6：核心速记主线有哪些？
-
顺时针90°=上下翻转+主对角线翻转
-
原地：i走n//2、j<i，每对只换一次
-
时间O(n²)空间O(1)，翻转法最直观
-
逆时针=上下+副对角线（别用主对角）
口诀
A：旋转图像折纸奇，上下翻完对角移；
i 走半程 j 小于，每对一次莫迟疑。
时间平方空间一，原地翻转最相宜；
逆时针换副对角，方向千万别偏歧。