43. 字符串相乘（Multiply Strings）
难度：中等 | 主题：字符串——模拟竖式乘法
题目
给定两个以字符串形式表示的非负整数 num1 和 num2，返回它们的乘积（字符串形式）。不能使用内置大整数转换。
示例：
num1 = "2", num2 = "3" → "6"
num1 = "123", num2 = "456" → "56088"
思路
先讲个故事：小学生的竖式乘法
还记得小学怎么算乘法吗？123 × 456，把 456 拆成 6、50、400，分别和 123 相乘，然后错位相加。
字符串相乘就是用代码模拟这个竖式过程。核心洞察：num1[i] 和 num2[j] 的乘积，其个位落在结果数组的 i+j+1 位置，十位（进位）落在 i+j 位置。
引导式推导：从加法到乘法
第 1 步：回顾加法模板（415字符串相加）
从末尾逐位相加，处理进位。
第 2 步：扩展到乘法
graph TD subgraph 竖式乘法对齐 A["num1[i] × num2[j]"] --> B["个位 → res[i+j+1]"] A --> C["十位(进位) → res[i+j]"] D["结果数组长度 = m + n"] E["最后处理进位 + 去前导零"] end
为什么 i+j+1 是低位？ 把 num1[i] 看作 10^(m-1-i) 位，num2[j] 看作 10^(n-1-j) 位，乘积在 10^(m+n-2-i-j) 位。映射到长度为 m+n 的数组，索引为 i+j+1。
代码
def multiply(self, num1: str, num2: str) -> str:
if num1 == "0" or num2 == "0":
return "0"
m, n = len(num1), len(num2)
res = [0] * (m + n)
for i in range(m - 1, -1, -1):
digit1 = ord(num1[i]) - ord('0')
for j in range(n - 1, -1, -1):
digit2 = ord(num2[j]) - ord('0')
total = digit1 * digit2 + res[i + j + 1]
res[i + j + 1] = total % 10
res[i + j] += total // 10
start = 0
while start < len(res) and res[start] == 0:
start += 1
return ''.join(str(d) for d in res[start:])
复杂度
| 指标 | 值 | 解释 |
|---|---|---|
| 时间 | O(m × n) | 双重循环 |
| 空间 | O(m + n) | 结果数组长度 |
实战考量
频率分析
字符串乘法题，约 15% 考察，是加法模板（415字符串相加）的进阶。
延伸思考
Q：为什么 res[i+j+1] 存个位，res[i+j] 存进位？
A：竖式乘法中，num1 的第 i 位和 num2 的第 j 位相乘，结果在 10^(m+n-2-i-j) 位。m+n 长的数组从右到左对应 0 到 m+n-1 位，i+j+1 刚好对应这个位置。
Q：为什么 res 数组长度是 m+n？
A：两个 m 位和 n 位的数相乘，最多 m+n 位。例如 99×99 = 9801（2+2=4 位）。
Q：res[i+j] 为什么用 +=？
A：因为该位置可能已经有之前某次乘法的进位，需要累加。
Q：Karatsuba 算法了解吗？
A：分治乘法，O(n
易错点
-
res[i+j]用+=不是= -
res[i+j+1]用=不是+=（total已包含原值） -
必须去掉前导零
-
任一数为 “0” 时直接返回 “0”
生活类比
小学竖式乘法 → 错位相加
每一位的乘积都有自己的位置（
i+j+1），进位累加到高位（i+j）。
最后统一处理进位，去掉前导零。
乘法的本质：多次加法 + 错位对齐。
相关题目
| 题目 | 关系 |
|---|---|
| 415字符串相加 | 加法基础版，先掌握再学乘法 |
| 67二进制求和 | 二进制版加法 |
| 2两数相加 | 链表版大数运算 |
→ 返回题单：LeetCode学习路线图 > 二、字符串
速记卡（面试闪卡）
Q1：一句话讲清「43. 字符串相乘（Multiply Strings）」到底是什么？
A：《字符串相乘》是用代码模拟竖式乘法，把两个大整数字符串乘出结果字符串。
Q2：题目 —— 怎么理解？
A：像不能用计算器的乘法题：给两个非负整数字符串，返回乘积字符串，禁止内置大整数转换；题目（Problem）考你手算过程。
Q3：思路 —— 怎么理解？
A：像小学竖式：123×456 拆成 6、50、400 分别乘再错位相加；核心洞察 num1[i]×num2[j] 个位落 res[i+j+1]、进位落 res[i+j]。
Q4：代码 —— 怎么理解？
A：建长度 m+n 的结果数组，双重循环填 i+j+1（个位）与 i+j（进位），最后去前导零；代码（Code）注意 += 累加进位。
Q5：复杂度 —— 怎么理解？
A：像两重循环扫一遍：时间 O(m×n) 双重循环，空间 O(m+n) 结果数组；复杂度（Complexity）随两数位数 m、n 线性乘积。
Q6：核心速记主线有哪些？
-
题目：两数字符串相乘，禁内置大整数
-
思路：模拟竖式，i+j+1 落个位、i+j 落进位
-
代码：m+n 长数组填值，去前导零
-
复杂度：时间 O(m×n)，空间 O(m+n)
口诀
A：字符串相乘，
竖式错位加；
个位i加j加一，
进位累加它。