121. 买卖股票的最佳时机
难度：简单 | 主题：贪心——一次遍历
题目
给定一个数组 prices，第 i 个元素表示第 i 天的股价。只能买卖一次（先买后卖），求最大利润。如果不能获利，返回 0。
示例：
[7,1,5,3,6,4] → 5
第 2 天买（1），第 5 天卖（6），利润 5
思路
先讲个故事：集市上的古董商
你是个古董商，只能进一件货、出一件货。你知道未来每天的报价，问哪天买哪天卖赚最多？
直觉：你不会在最高点买，也不会在最低点卖（因为必须先买后卖）。真正的约束是——你只能在过去的最低点买，在未来的某天卖。
每天唯一能做的决策就是：如果今天卖，利润 = 今天价格 - 历史最低价。所有天的利润取最大，就是答案。
引导式推导：从暴力到贪心
第 1 层：暴力 O(n²)
枚举所有 (i, j) 买卖对，i < j，取利润最大值。
第 2 层：一次遍历 O(n)
min_price = inf
max_profit = 0
for price in prices:
min_price = min(min_price, price)
max_profit = max(max_profit, price - min_price)
为什么贪心成立？
历史最低价不会因为后面的价格改变。每天的最佳卖出利润 = 当天价 - 之前最低价。全局最优就是所有天的局部最优的最大值。
graph LR subgraph 一次遍历 A["遍历第 i 天"] --> B{"比 min_price 低？"} B -->|是| C["更新 min_price"] B -->|否| D["计算 price - min_price"] D --> E["更新 max_profit"] end
代码
def maxProfit(self, prices: list[int]) -> int:
min_price = float('inf')
max_profit = 0
for price in prices:
max_profit = max(price - min_price, max_profit) # 先算利润
min_price = min(price, min_price) # 再更新最低价
return max_profit
也可用 DP（hold/cash 两状态），扩展性强但本题贪心更简洁。
复杂度
| 指标 | 值 | 解释 |
|---|---|---|
| 时间 | O(n) | 遍历一次 |
| 空间 | O(1) | 两个变量 |
| 暴力 | O(n²) | 枚举所有买卖对 |
实战考量
频率分析
股票系列基础题，约 40% 常会从此题开始考察贪心或 DP。一面热身常见。
延伸思考
Q：为什么贪心是对的？不会错过最优解吗？
A：每天的最佳卖出利润 = 当天价 - 之前最低价。全局最优是所有天中该值的最大值。贪心维护”之前最低价”保证了每个局部最优都是当天最优，取 max 即全局最优。
Q：为什么先算利润再更新最低价？
A：假设今天卖出，用今天之前的最低价算利润；然后才考虑今天是否成为以后的最低价。顺序反了会导致用今天的价格买今天卖（利润 0）。
Q：如果允许多次交易呢？
A：→ 122买卖股票的最佳时机II，累加所有正差价。
Q：如果最多两次呢？
A：→ 123买卖股票的最佳时机III，五状态 DP 状态机。
Q：DP 状态机怎么写？
A：cash = max(cash, hold + price)，hold = max(hold, -price)。是股票系列（含冷冻期、手续费）的统一模板。
易错点
-
min_price初始化为inf不是 0 -
先算利润再更新最低价——逻辑顺序不能反
-
全局最低可能出现在最佳卖出之后，不能先找最低再找最高
生活类比
集市古董商 → 一次遍历
你每天逛集市，记下见过的最便宜的古董价格。
如果今天价格比之前高，算算能赚多少；如果比之前低，更新”见过的最低价”。
逛完集市，你带走的是”最大可能的利润”。
贪心的本质就是：每天做局部最优决策（记录最低价、计算当天利润），最后取全局最大。
相关题目
| 题目 | 关系 |
|---|---|
| 122买卖股票的最佳时机II | 无限次交易，累加正差价 |
| 309最佳买卖股票时机含冷冻期 | 含冷冻期，状态机 DP |
| 123买卖股票的最佳时机III | 最多两次，五状态 DP |
| 53最大子数组和 | 类似贪心 + 一次遍历 |
→ 返回题单：LeetCode学习路线图 > 十一、贪心
速记卡（面试闪卡）
Q1：一句话讲清「121. 买卖股票的最佳时机」到底是什么？
A：121 题限定只能买卖一次股票，求最大利润，用一次遍历维护历史最低价即可 O(n) 解出。
Q2：题目 —— 怎么理解？
A：给每天股价数组，只能先买后卖一次，求最大利润，不能获利返回 0。像古董商：只在见过的最低价买、在之后的某天卖，每天利润 = 当天价 − 历史最低价。Greedy（贪心）每天做局部最优，取 max 即全局最优。
Q3：思路 —— 怎么理解？
A：一次遍历：min_price 记历史最低，max_profit 记当天价 − min_price 的最大值。先算利润再更新最低价，否则会“今天买今天卖”利润归零。暴力 O(n²) 枚举所有买卖对，遍历法 O(n)。
Q4：代码 —— 怎么理解？
A：循环里先 max_profit = max(price - min_price, max_profit) 再 min_price = min(price, min_price)，两变量搞定。也可用 hold/cash 状态机 DP，扩展性更强但本题贪心更简洁。
Q5：复杂度 —— 怎么理解？
A：时间 O(n)、空间 O(1)；暴力 O(n²)。多次交易看 122（累加正差价），最多两次看 123（五状态 DP）。全局最低可能出现在最佳卖出之后，不能先找最低再找最高。
Q6：核心速记主线有哪些？
-
题意：只能买卖一次，求最大利润
-
贪心：维护历史最低价，每天算 当天价−最低价 取最大
-
顺序关键：先算利润再更新最低价
-
时间 O(n)、空间 O(1)
口诀
A：股票只能买卖一，
最低价记心里的；
每天利润相减比，
贪心一遍最大值。