153. 寻找旋转排序数组中的最小值
难度：中等 | 主题：旋转数组二分——跟最右边比
题目
已知一个长度为 n 的数组预先按照升序排列，在某个未知的点上进行了旋转。请找出旋转数组中的最小元素。要求 O(log n) 时间复杂度。
示例
输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
思路
先讲个故事：被打乱的日历
你有 12 个月的日历按顺序贴成一排。有人从中间撕开，把后半叠到了前半上面。现在你看到的可能是 [7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6]。你要快速找到1 月在哪。
因为日历本身有序，只是被切了一刀。你会看中间月份：如果中间是 9 月，它比右边的 3 月大，说明切口在后半部分，最小值在右边。
引导式推导：旋转数组的形状
升序数组旋转后，形状就像一个大写字母 ”√”：
graph LR A["3"] --> B["4"] B --> C["5"] C --> D["1<br/>最小值"] D --> E["2"] E --> F["< 旋转点"]
核心性质：nums[mid] 跟 nums[right] 比，而非跟 nums[left] 比。
| 条件 | 含义 | 操作 |
|---|---|---|
nums[mid] < nums[right] | mid 在低谷侧 | right = mid（mid 可能是最小值） |
nums[mid] > nums[right] | mid 在高峰侧 | left = mid + 1 |
为什么跟 right 比而不是跟 left？ 如果数组没旋转（完全升序），nums[mid] > nums[left] 恒成立，会误判最小值在右边。
为什么 nums[mid] < nums[right] 时是 right = mid 而不是 mid - 1？ 因为 mid 可能就是最小值，不能跳过。比如 [2,1] 时 mid=0, nums[0] > nums[1]，最小值在右边。
代码
class Solution:
def findMin(self, nums: list[int]) -> int:
left, right = 0, len(nums) - 1
while left < right:
mid = (right - left) // 2 + left
if nums[mid] < nums[right]:
right = mid
else:
left = mid + 1
return nums[left]
循环条件为什么是 left < right 而不是 <=？ 还剩一个元素时它就是最小值，不需要再分。这与 704 不同。
复杂度
| 指标 | 值 | 解释 |
|---|---|---|
| 时间 | O(log n) | 标准二分 |
| 空间 | O(1) | 两个指针 |
实战考量
频率分析
出现在：旋转数组二分的必修课。字节/美团/阿里常考，与 33 题组成旋转数组系列。
延伸思考
Q：为什么跟 right 比而不是跟 left 比？
A：跟 left 比在无旋转数组（完全升序）上会崩：nums[mid] > nums[left] 恒成立，导致误判最小值在右边，一路向右搜索直到撞到右边界返回错误答案。
Q：为什么 nums[mid] < nums[right] 时 right = mid 而不是 mid - 1？
A：mid 可能就是最小值（如 [4,5,1,2,3] 中 mid=2 时值为 1），不能跳过。
Q：如果数组有重复元素呢？（154 题）
A：当 nums[mid] == nums[right] 时无法判断，只能 right -= 1，最坏退化为 O(n)。
易错点
-
跟 right 比，不是跟 left
-
right = mid不能-1 -
循环条件
left < right（不是<=）
生活类比
找旋转点 → 找断开的圆环
一根铁环上均匀标了数字，从某处断开后拉直。数字从断点处重新排列：[4,5,6,1,2,3]。要找 1（最小值）就像找断点——断开处前后一定是最大的挨着最小的。
相关题目
| 题目 | 关系 |
|---|---|
| 33搜索旋转排序数组 | 旋转数组进阶（搜索 target 值） |
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→ 返回题单：LeetCode学习路线图 > 八、二分查找
速记卡（面试闪卡）
Q1：一句话讲清「153. 寻找旋转排序数组中的最小值」到底是什么？
A：旋转升序数组找最小值：二分时跟右端点比而非左端点，nums[mid]>right 则最小值在右半，O(log n)。
Q2：为什么跟 right 比不跟 left 比？ —— 怎么理解？
A：像完全没旋转的升序数组，mid 永远比 left 大，会误判最小值在右一路冲到右边界答错。跟 right 比：mid<right 说明在低谷侧、right=mid；否则 left=mid+1。英文全称 Binary Search（二分查找）。
Q3：为什么 right=mid 不 -1？ —— 怎么理解？
A：因为 mid 自己可能就是最小值（如 [4,5,1,2,3] 中 mid 指向 1），跳过就漏了。循环条件用 left<right 而非 ≤，剩一个元素就是答案不用再分。
Q4：有重复元素怎么办（154）？ —— 怎么理解？
A：当 nums[mid]==nums[right] 无法判断左右，只能 right-=1 逐步排除，最坏退化 O(n)。无重复时严格 O(log n)。
Q5：生活类比？ —— 怎么理解？
A：像被切了一刀的日历 [7..12,1..6]，找”1月在哪”：看中间月份比右边大，说明切口在后半，最小值在右。本质找断开的圆环处，前后是最大挨最小。
Q6：核心速记主线有哪些？
-
核心：二分跟右比，mid>right 则左=mid+1 否则右=mid
-
细节：right=mid 不-1（mid 可能是最小）、循环 left<right
-
复杂度：时间 O(log n) 空间 O(1)
-
延伸：有重复(154)时相等则 right-=1，退化 O(n)
口诀
A：旋转数组找最小，
二分跟右不跟左；
mid 大右移左加一，
mid 小右收莫减错。